Question

已知函数
（1）求f（x）的极．
（2）求证f（x）的图象是中心对称图形．
（3）设f（x）的定义域为D是否存在[a，b]⊆D．当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是？若存在，求实数a、b的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由导数运算法则知，，再利用导数与单调性关系解得即可；
（2）设P（x，f（x））为f（x）的图象上一点，欲证f（x）的图象是中心对称图形即证P关于的对称点是还在图形上，只须证明：即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a、b．再利用函数的单调性问题利用导数解决，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）．（2′）注意到，得x∈（-∞，2）∪（4，+∞），
解得x=6或x=0．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，0） （0，2） （4，6） 6 （6，+∞）
f′（x） + - - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗

所以是f（x）的一个极大值，是f（x）的一个极大值..（4′）
（2）点（0，f（0）），（6，f（6））的中点是，所以f（x）的图象的对称中心只可能是．（6′）
设P（x，f（x））为f（x）的图象上一点，P关于的对称点是．∵．
∴Q也在f（x）的图象上，因而f（x）的图象是中心对称图形．（8′）
（3）假设存在实数a、b．∵[a，b]⊆D，∴b＜2或a＞4．
若0≤b＜2，当x∈[a，b]时，，而
∴．故此时f（x）的取值范围是不可能是．（10′）
若4＜a≤6，当x∈[a，b]时，，而
∴．故此时f（x）的取值范围是不可能是．（12′）
若a＜b＜0或6＜a＜b，由g（x）的单调递增区间是（-∞，0），（6，+∞），
知a，b是的两个解．而无解．
故此时f（x）的取值范围是不可能是．（14′）
综上所述，假设错误，满足条件的实数a、b不存在．