Question

已知椭圆=1（a＞b＞0），，c为半焦距．过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）（理）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
（文）若直线y=x+k（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使OC⊥OD（O为原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直线AB方程为：bx-ay-ab=0．依题意解得 ，由此能求出椭圆方程．
（2）假若存在这样的k值，由得（1+3k2）x2+12kx+9=0．△=（12k）2-36（1+3k2）＞0．设C（x1，y1）、D（x2，y2），则，由此入手能够求出存在，使得以CD为直径的圆过点E．
（文科）假若存在这样的k值，由得4x2+6kx+3k2-3=0．△=（6k）2-4×4（3k2-3）＞0．设C（x1，y1）、D（x2，y2），则．由此入手，能够求出存在，使得OC⊥OD．
【解析】
（1）直线AB方程为：bx-ay-ab=0．
依题意解得
∴椭圆方程为 ．
（2）（理科）假若存在这样的k值，由得（1+3k2）x2+12kx+9=0．
∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0． ①
设C（x1，y1）、D（x2，y2），则②
而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即y1y2+（x1+1）（x2+1）=0．
∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0． ③
将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．
（文科）假若存在这样的k值，由得4x2+6kx+3k2-3=0．
∴△=（6k）2-4×4（3k2-3）＞0．          ①
设C（x1，y1）、D（x2，y2），则②
而y1•y2=（x1+k）（x2+k）=x1x2+k（x1+x2）+k2．
由OC⊥OD知，即 x1x2+y1y2=0．
∴2x1x2+k（x1+x2）+k2=0． ③
将②式代入③整理解得．经验证使①成立．
综上可知，存在，使得OC⊥OD．