Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段AD₁上的点，且满足．
（1）当λ=1时，求证：DP⊥平面ABC₁D₁；
（2）问当λ变化时，三棱锥D-PBC₁的体积是否为定值；若是，求出其定值；若不是，说明理由．

Answer

（1）欲证DP⊥平面ABC1D1，用平面与平面垂直的性质，即当两个平面垂直时，其中一个平面上垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，用正方体的性质，可判断当λ=1时，平面ABC1D1⊥平面AA1D1D，且两平面交线为AD1，利用正方形对角线互相垂直可证DP⊥AD1，所以DP⊥平面ABC1D1． 
（2）三棱锥D-PBC1可以把三角形PBC1看成底面，D点为顶点，则三角形PBC1的面积为BC1的长乘以1，为定值，D点到平面PBC1的距离也为定值，所以三棱锥D-PBC1的体积恒为定值．
【解析】
（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，
又AB⊂ABC1D1，∴平面ABC1D1⊥平面AA1D1D，
∵λ=1时，P为AD1的中点，∴DP⊥AD1，
又∵平面ABC1D1∩平面AA1D1D=AD1，DP⊂平面AA1D1D
∴DP⊥平面ABC1D1．      
（2）三棱锥D-PBC1的体积恒为定值．
∵AD1∥BC1，P为线段AD1上的点，
∴三角形PBC1的面积为定值，即，
又∵CD∥平面ABC1D1，∴点D到平面PBC1的距离为定值，即，
∴三棱锥D-BPC1的体积为定值，即．
也即无论λ为何值，三棱锥D-PBC1的体积恒为定值．