Question

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈[-1，1]）．
（1）若t＞0，求f（x）的最小值h（t）；
（2）对于（1）中的h（t），若t∈（0，2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先将函数进行配方，然后讨论对称轴与区间[-1，1]的位置关系，然后研究函数的单调性，从而求出函数的最小值；
（2）令g（t）=h（t）+2t，然后研究函数g（x）的单调性求出函数g（x）的最大值，欲使h（t）＜-2t+m2+4m在（0，2]内恒成立，等价于g（t）＜m2+4m在（0，2]内恒成立，即可g（t）max＜m2+4m，然后解不等式即可求出m的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=t（x+t）2-t3+t-1，
①若-t＜-1，即t＞1时，f（x）在[-1，1]上单调递增，f（x）的最小值为f（-1）=-2t2+2t-1；
②若-1≤-t＜0，即0＜t≤1时，则f（x）在[-1，1]上的最小值为f（-t）=-t3+t-1；
∴．                （6分）
（2）令g（t）=h（t）+2t=．  （7分）
①0＜t≤1时，由g′（t）=-3t2+3≥0，
∴g（t）在（0，1]单调递增；（9分）
②1＜t≤2时，g（t）=-2t2+4t-1=-2（t-1）2+1g（t）在（1，2]上单调递减，
由①、②可知，g（t）在区间（0，2]上的最大值为g（1）=1．（11分）
所以h（t）＜-2t+m2+4m在（0，2]内恒成立，等价于g（t）＜m2+4m在（0，2]内恒成立，
即只要1＜m2+4m，
解m2+4m-1＞0得：或
所以m的取值范围为．        （14分）