Question

如图：中心为原点的双曲线的一条渐近线为y=x，焦点A、B在x轴上，焦距|AB|为．
（1）求此双曲线方程；
（2）过P（2，0）的直线L交双曲线于点M、N，．求证：对于任意直线L，数量积是定值，并求出该定值．
（3）在（2）的条件下，求|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．

Answer

（1）由渐进线为y=±x，知双曲线是等轴双曲线x2-y2=a2，离心率e=．由此能求出其方程．
（2）设MN的方程为x=my+2，代入x2-y2=1，得（m2-1）y2+4my+3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=-，y1y2=．
=（m2+1）y1y2+m（2-b）（y1+y2）+4-4b+b2为定值，由此得到证明．
（3）|QM|2+|QN|2-|MN|2=（x1-1）2+（y1）2+（x2-1）2+（y2）2-（x1-x2）2-（y1-y2）2=2m（y1+y2）=，由此能求出|QM|2+|QN|2-|MN|2的值．
【解析】
（1）∵渐进线为y=±x，∴是等轴双曲线x2-y2=a2，离心率e=．
又2c=2，∴c2=2a2，a=1，方程为x2-y2=1．
（2）设MN的方程为x=my+2，代入x2-y2=1，得（m2-1）y2+4my+3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=-，y1y2=．

=（m2+1）y1y2+m（2-b）（y1+y2）+4-4b+b2为定值，可得（b2-1）m2-（b2-4b+1）=C（定值）…（*）
∴（b2-1-C）m2-（b2-4b+1-C）=0而与m的取值无关，
∴b2-1-C=b2-4b+1-C=0，∴C=-，b=．
（3）|QM|2+|QN|2-|MN|2=（x1-1）2+（y1）2+（x2-1）2+（y2）2-（x1-x2）2-（y1-y2）2=2m（y1+y2）=，
由（2）知 C=-，b=，代入（*）式，得m2=2，
∴|QM|2+|QN|2-|MN|2==-16．