Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n是二项式（1+2x）²ⁿ（n∈N^* ）展开式中含x奇次幂的系数和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）=，求f（0）+f（）+f（）+…+f（）；
（3）证明：++…+≥（1-）．

Answer

（1）记（1+2x）2n=a+a1x+…+a2nx2n，利用赋值可分别令x=1得：32n=a+a1+…+a2n，令x=-1得：1=a-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n两式相减得：32n-1=2（a1+a3+…+a2n-1），从而可求
（2）由（1）可得，注意到f（n）+f（1-n）=，从而可考虑利用倒序相加求和即可
（3）由=
=，故可以利用裂项求和先求和，然后利用二展开式进行放缩可证
【解析】
（1）记（1+2x）2n=a+a1x+…+a2nx2n
令x=1得：32n=a+a1+…+a2n
令x=-1得：1=a-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n
两式相减得：32n-1=2（a1+a3+…+a2n-1）
∴（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4×9n-1
当n=1时，a1=S1=4，适合上式
∴an=4×9n-1（4分）
（2）
注意到=（6分）
令
则T=
∴
故，即f（0）+f（）+f（）+…+f（）=（8分）
（3）=
= （n≥2）（10分）
∴
=（12分）
∵9n-1=（8+1）n-1=Cn1×8+Cn2×82+…+Cnn8n=8（4n2-3n）
从而可得，++…+≥（1-）．（14分）