Question

与向量、圆交汇．例5：已知F₁、F₂分别为椭圆C₁：的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₂：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x²+y²=b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，，（λ≠0且λ≠±1）．问点Q是否总在某一定直线上？若在，求出这条直线，否则，说明理由．

Answer

（1）由抛物线C2的定义得y，进而得点M的坐标，代入椭圆的方程可得a，b的值；
（2）由设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由可得：（1-x1，3-y1）=-λ（x2-1，y2-3）．
【解析】
（1）由C2：x2=4y知F1（0，1），设M（x，y）（x＜0），因M在抛物线C2上，
故x2=4y①
又，则②，由①②解得，．而点M椭圆上，
故有，即③，又c=1，则b2=a2-1④
由③④可解得a2=4，b2=3，∴椭圆C1的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），
由可得：（1-x1，3-y1）=-λ（x2-1，y2-3），即
由可得：（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y），即
⑤×⑦得：x12-λ2x22=（1-λ2）x，⑥×⑧得：y12-λ2y22=3y（1-λ2）
两式相加得（x12+y12）-λ2（x22+y22）=（1-λ2）（x+3y）
又点A，B在圆x2+y2=3上，且λ≠±1，所以x12+y12=3，x22+y22=3
即x+3y=3，∴点Q总在定直线x+3y=3上．