Question

如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD．若双曲线C₁以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为     ．

Answer

设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，则可表示出BC，EB，CD，进而可求得梯形的周长的表达式，根据二次函数的性质求得周长的最大值时θ的值，则AC和BC可求，进而根据双曲线的定义求得双曲线的长轴，进而利用求得答案．
【解析】
设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，
则BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin2θ，有CD=2R-4Rsin2θ，
梯形的周长l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin2=．
当，即θ=30°时，l有最大值5R，这时，，，．
故答案为+1