Question

如图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点．

Answer

先连接AN，交平面α于点Q，连接PQ，由于b∥α，b⊂平面ABN，平面ABN∩α=OQ，根据线面平行的性质定理可知b∥OQ，同理可证得a∥PQ，从而确定点P的位置．
证明：连接AN，交平面α于点Q，连接PQ．
∵b∥α，b⊂平面ABN，平面ABN∩α=OQ，
∴b∥OQ．又O为AB的中点，
∴Q为AN的中点．∵a∥α，a⊂平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ．∴P为MN的中点．