Question

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积．

Answer

（1）要证DM∥平面APC，只需证明MD∥AP（因为AP⊂面APC）即可．
（2）在平面ABC内直线AP⊥BC，BC⊥AC，即可证明BC⊥面APC，从而证得平面ABC⊥平面APC；
（3）因为BC=4，AB=20，求出三棱锥的高，即可求三棱锥D-BCM的体积．
证明：（I）由已知得，MD是△ABP的中位线
∴MD∥AP∵MD⊄面APC，AP⊂面APC
∴MD∥面APC；（4分）

（II）∵△PMB为正三角形，D为PB的中点
∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC=P
∴AP⊥面PBC（6分）∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC
又∵BC⊥AC，AC∩AP=A∴BC⊥面APC，（8分）
∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC；（10分）

（III）由题意可知，MD⊥面PBC，
∴MD是三棱锥D-BCM的高，
∴．（14分）