Question

已知集合A={（x，y）|x²+mx-y+2=0}和B={（x，y）|x-y+1=0，0≤x≤2}，A∩B≠∅，求实数m的
取值范围．

Answer

本题的几何背景是：抛物线y=x2+mx+2与线段y=x+1（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围．
【解析】
由
得x2+（m-1）x+1=0，①
∵A∩B≠∅，
∴方程①在区间[0，2]上至少有一个实数解，
首先，由△=（m-1）2-4≥0，
解得：m≥3或m≤-1．
设方程①的两个根为x1、x2，
（1）当m≥3时，由x1+x2=-（m-1）＜0
及x1•x2=1＞0知x1、x2都是负数，不合题意；
（2）当m≤-1时，由x1+x2=-（m-1）＞0
及x1•x2=1＞0知x1、x2是互为倒数的两个正数，
故x1、x2必有一个在区间[0，1]内，
从而知方程①在区间[0，2]上至少有一个实数解．
综上所述，实数m的取值范围为（-∞，-1]．