Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c （≤a≤1）的图象过点A（0，1）且直线2x+y-1=0与y=f（x）图象切于A点．
（1）求b与c的值；
（2）设f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为M（a）、N（a）、g（x）=M（a）-N（a），若g（a）=2，求实数a的值．

Answer

（1）由f（0）=1，求得c=1，再由“直线2x+y-1=0与y=f（x）图象切于A点”联立转化为ax2+（b+2）x=0有等根，求b．
（2）由（1）知f（x）=ax2-2x+1=a（x-）2+1-，用二次函数法求得其最值，构造g（x），再由g（a）=2，求实数a的值，要注意讨论．
【解析】
（1）f（0）=1c=1（2分）
ax2+（b+2）x=0有等根（5分）
b=-2（7分）
（2）f（x）=ax2-2x+1=a（x-）2+1-（8分）
≤a≤1∴1≤≤3恒有N（a）=1-（10分）
当1≤≤2即≤a≤1时M（a）=9a-5
M（a）-N（a）=2＜（舍去）（12分）
当2＜≤3即≤a＜时M（a）=a-1
M（a）-N（a）=2a=2±＞都舍去
综上（15分）