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已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面...

manfen5.com 满分网已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=manfen5.com 满分网AB=1,M是PB的中点.
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.
法一:(Ⅰ)证明面PAD⊥面PCD,只需证明面PCD内的直线CD,垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可; (Ⅱ)过点B作BE∥CA,且BE=CA,∠PBE是AC与PB所成的角,解直角三角形PEB求AC与PB所成的角; (Ⅲ)作AN⊥CM,垂足为N,连接BN,说明∠ANB为所求二面角的平面角,在三角形AMC中,用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小. 法二:以A为坐标原点AD长为单位长度,建立空间直角坐标系, (Ⅰ)求出,计算,推出AP⊥DC.,然后证明CD垂直平面PAD,即可证明面PAD⊥面PCD; (Ⅱ),计算.即可求得结果. (Ⅲ)在MC上取一点N(x,y,z),则存在使,说明∠ANB为所求二面角的平面角.求出,计算 即可取得结果. 法一:(Ⅰ)证明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD, ∴由三垂线定理得:CD⊥PD. 因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直, ∴CD⊥面PAD. 又CD⊂面PCD, ∴面PAD⊥面PCD. (Ⅱ)【解析】 过点B作BE∥CA,且BE=CA, 则∠PBE是AC与PB所成的角. 连接AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2, 所以四边形ACBE为正方形.由PA⊥面ABCD得∠PEB=90° 在Rt△PEB中BE=a2=3b2,PB=, ∴. ∴AC与PB所成的角为. (Ⅲ)【解析】 作AN⊥CM,垂足为N,连接BN. 在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB, ∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角 ∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC, 在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM. 在等腰三角形AMC中,AN•MC=, ∴. ∴AB=2, ∴ 故所求的二面角为. 法二:因为PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点AD长为单位长度, 如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0), D(1,0,0),P(0,0,1),M (Ⅰ)证明:因为, 故,所以AP⊥DC. 又由题设知AD⊥DC,且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD (Ⅱ)【解析】 因, 故=, 所以 由此得AC与PB所成的角为. (Ⅲ)【解析】 在MC上取一点N(x,y,z), 则存在使,, ∴x=1-λ,y=1,z=λ. 要使AN⊥MC,只需即, 解得.可知当时,N点坐标为,能使. , 有由得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角. ∵, ∴. 故所求的二面角为arccos.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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