Question

已知函数f（x）=-x（0＜x＜）．
（1）求f（x）的导数f′（x）；
（2）求证：不等式sin³x＞x³cosx在（0，]上恒成立；
（3）求g（x）=-（0＜x≤）的最大值．

Answer

（1）利用求导公式和导数的运算法则求解该函数的导函数，注意复合函数导数法则的运用；
（2）通过构造函数，研究构造的函数的导函数完成该不等式的证明问题，注意发挥导数的工具作用；
（3）利用（2）的结论完成该函数最值的求解，注意发挥函数单调性与最值的联系作用．
【解析】
（1）根据求导的运算法则得出f′（x）=x+sin2xx-1；

（2）由（1）知f′（x）=x+sin2xx-1，其中f（0）=0
令f′（x）=G（x），对G（x）求导数得G′（x）
G′（x）=x（-sinx）+[2sinxcosxx+sin2x（-）x（-sinx）]
=sin3xx＞0在x∈（0，）上恒成立．
故G（x）即f（x）的导函数在（0，）上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0
进而知f（x）在（0，）上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，当x=时，sin3x＞x3cosx显然成立．
于是有sin3x-x3cosx＞0在（0，]上恒成立．

（3）∵由（2）可知sin3x-x3cosx＞0在（0，]上恒成立．
则g′（x）=在（0，]上恒成立．即g（x）在（0，]单增
于是g（x）≤g（）=．故g（x）=-（0＜x≤）的最大值为．