Question

已知曲线C_n：y=nx²，点P_n（x_n，y_n）（x_n＞0，y_n＞0）是曲线C_n上的点（n=1，2，…），
（1）试写出曲线C_n在P_n点处的切线l_n为的方程，并求出l_n与y轴的交点Q_n的坐标；
（2）若原点O（0，0）到l_n的距离与线段P_nQ_n的长度之比取得最大值，试求点的坐标P_n（x_n，y_n）

Answer

（1）由题意知y′=2nx，由此可知切线ln的方程：y-yn=2nxn（x-xn），令n=0得Qn（0，-nxn2）．
（2）由题意知=．由此及彼可推导出p的坐标为．
【解析】
（1）∵y′=2nx，
∴k=2nxn，切线lm的方程：y-yn=2nxn（x-xn），
令n=0得y=-2nxn2+yn=-nxn2，即Qn（0，-nxn2）．
（2）切线方程可写成：2nxnx-y-2nxn2+yn=0．
，
=．
当且仅当，即时，取等号，此时yn=nxn2，点P的坐标为．