Question

已知不等式++…+＞，其中n为大于2的整数，[log₂n]表示不超过log₂n的最大整数．设数列{a_n}的各项为正，且满足a₁=b（b＞0），a_n≤，n=2，3，4，…．证明：a_n＜，n=3，4，5，…．

Answer

欲证明：an＜，设f（n）=++，首先利用数学归纳法证不等式an＜，再结合条件即可解决．
证明：设f（n）=++，首先利用数学归纳法证不等式an＜，n=3，4，5．
（ⅰ）当n=3时，由a3≤=≤=，知不等式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即ak＜，则ak+1≤=＜===
即当n=k+1时，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）知，an＜，n=3，4，5．．
又由已知不等式得an＜=，n=3，4，5，…