Question

已知四棱锥P-ABCD的直观图（如图1）及左视图（如图2），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求异面直线PD与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．

Answer

（Ⅰ）取AB的中点O连接PO，证明AD垂直平面PAB内的两条相交直线PO，AB，即可证明AD⊥PB；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出，利用cos==，求异面直线PD与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）平面PABD 法向量=（1，0，0）设平面PCD的法向量=（x，y，z），通过cos，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．
【解析】
（Ⅰ）取AB的中点O连接PO，则PO⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB
PO⊂平面PAB可得PO⊥平面PAS，又AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AD⊥AB，PO∩AB=0
可得AD⊥平面PAB
PB⊂平面PAB
所以 AD⊥PB

（Ⅱ）过O作AD的平行线为x轴，OB、OP分别为y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，-1，0）
D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0）由已知左视图知PO=2，故P（0，0，2）
=（2，-1，-2），cos==
（Ⅲ）平面PABD 法向量=（1，0，0）设平面PCD的法向量=（x，y，z）

取
cos
即所求二面角的大小为