Question

已知数列{a_n}是以4为首项的正数数列，双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一个焦点坐标为，且c₁=6，一条渐近线方程为．
（1）求数列{c_n}（n∈N*）的通项公式；
（2）试判断：对一切自然数n（n∈N*），不等式是否恒成立？并说明理由．

Answer

（1）首先将双曲线方程化成标准形式，再根据c2=a2+b2得出cn=an+an-1，然后据渐近线方程得出数列{an}的通项公式，最后根据cn=an+an-1求出所得．
（2）首先令，然后利用数列的错位求和法求出sn，再比较大小．
【解析】
（1）∵双曲线方程为an-1y2-anx2=an-1an
∴
∵焦点坐标为
∴cn=an+an-1
又∵渐近线方程得
∴
∵a1=4
∴数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列
∴an=2n+1
∴cn=2n+1+2n=3•2n（n≥2）
又∵c1=6，也符合上式
∴cn=3•2n（n∈N*）
（2）令①
则②
1-②，得
∴Sn=2×[]
即
∴
即
∴对一切自然数n（n∈N*），不等式恒成立．