Question

如图，直线相交于点P．直线l₁与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…，这样一直作下去，可得到一系列点P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，点P_n（n=1，2，…）的横坐标构成数列{x_n}．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）比较2|PP_n|²与4k²|PP₁|²+5的大小．

Answer

（I）由题意及各点的产生情况直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列{xn}，读懂它即可得证；
（II）因为已知的直线l1方程且知直线l1与x轴交于点P1，可以求出点P1，在有（I）的证明结论可以得到数列{xn}的递推关系利用构造法求出其通项；
（III）先由题意得到点P的坐标为（1，1），在有两点间的距离的公式得2|PPn|2的式子，有式子与4k2|PP1|2+5比较大小．
【解析】
（Ⅰ）证明：设点Pn的坐标是（xn，yn），由已知条件得
点Qn、Pn+1的坐标分别是：．
由Pn+1在直线l1上，得．
所以，即．
（Ⅱ）由题设知，又由（Ⅰ）知，
所以数列{xn-1}是首项为x1-1，公比为的等比数列．
从而．
（Ⅲ）【解析】
由得到点P的坐标为（1，1），
所以，．
（i）当时，4k2|PP1|2+5＞1+9=10．
而此时．
（ii）当时，4k2|PP1|2+5＜1+9=10．
而此时．