Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．

Answer

利用导数求闭区间上函数的极值、最值和对函数单调性的判定．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立．
∵x≥1．∴a≤（x-），
当x≥1时，令g（x）=（x-）是增函数，g（x）min=（1-1）=0．
∴a≤0．
（2）∵x=3是f（x）的极值点
∴f′（3）=0，即27-6a-3=0，∴a=4．
∴f（x）=x3-4x2-3x有极大值点x=-，极小值点x=3．
此时f（x）在x∈[-，3]上时减函数，在x∈[3，+∝）上是增函数．
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是：f（3）=-18，最大值是：f（1）=-6，（因f（a）=f（4）=-12）．