Question

已知函数f（x）=2x+1．
（I）解不等式；
（II）若x≠0，求证：．

Answer

（I）把函数f（x）=2x+1代入不等式，根据绝对值不等式的代数意义去绝对值符号，转化为解一元一次不等式；把求得的结果求并集；（II）把函数f（x）=2x+1代入，根据绝对值的运算性质放缩不等式，即可证得结论．
【解析】
（I）原不等式可化为|2x+1|+|x-2|＞4
当x≤-时，不等式化为-2x-1+2-x＞4，
∴x＜-1，此时x＜-1；
当-＜x＜2时，不等式化为2x+1+2-x＞4，
∴x＞1，此时1＜x＜2；
当x≥2时，不等式化为2x+1+x-2＞4，
∴x＞，此时x≥2．
综上可得：原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（II）===•||x|-|y||=|1+||x|-|y||，
∵|1+|≥1，当y=0时取等号，
∴|1+||x|-|y||≥||x|-|y||≥|x|-|y|
因此≥|x|-|y|．