Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC，F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1，D为BC中点，E为线段AD上不同于A、D的任意一点，
（1）证明：EF⊥FC₁；
（2）若，是否存在点E满足EF与平面FA₁C₁所成角为，若存在，求点E到平面A₁C₁CA的距离；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意先证明AD⊥面B1BCC1，得AD⊥C1F；再利用≌证明C1F⊥FD，可得C1F⊥面DEF；即可得证；
（2）先假设存在，建立坐标系求出平面FA1C1的法向量，利用向量数量积列出EF与平面FA1C1所成角的余弦值求解即可．
【解析】
（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱锥，∴B1B⊥面ABC
∴BB1⊥AD，BC∩BB1=B，
∴AD⊥面B1BCC1，C1F⊂面B1BCC1
∴AD⊥C1F；∵BC=BF=2，∴DB=1，又∵FB1=1
∴≌，∴∠DBF+∠C1FB1=，
∴∠DFC1=∴C1F⊥FD，
∴C1F⊥面DEF，∴C1F⊥EF
（2）以A1为坐标原点，A1B1、A1C1、A1A所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
∴=（0，，0），=（，0，1），
设面A1FC1的法向量为=（x，y，z），则有，=0可得
=（1，0，-），D（）
设E（，，3）（0＜t＜1），
∴=（-，，2），由已知=．
整理得2t2+t-3=0，解之得或t=1
∴不存在合适的点E．