Question

已知点F（0，1），点P在x轴上运动，M点在y轴上，N为动点，且满足，．
（1）求动点N的轨迹C方程；
（2）由直线y=-1上一点Q向曲线C引两条切线，切点分别为A，B，求证：AQ⊥BQ．

Answer

（1）首先根据分别表示出P，M的坐标；然后根据两个条件即可求出动点N的轨迹C方程．
（2）根据两条直线斜率k均存在，故直接设出两切线方程，代入曲线C的方程，化简为一元二次方程，根据判别式△=0得到一个关系式，根据韦达定理易得出两根之积为-1，即两斜率之积为-1，易得出两直线垂直
【解析】
（1）设N（x，y）．
因，
故P的坐标为（，0），M（0，-y），
于是，，．
因，
即得曲线C的方程为x2=4y
（2）设Q（m，-1）．
由题意，两条切线的斜率k均存在，
故可设两切线方程为y=k（x-m）-1．
将上述方程代入x2=4y，
得x2-4kx+4km+4=0．
依题意，△=（-4k）2-4（4km+4）=0，
即k2-mk-1=0．
上述方程的两根即为两切线的斜率，
由根与系数的关系，其积为-1，即它们所在直线互相垂直
∴AQ⊥BQ