Question

设x=1和x=2是函数f（x）=x⁵+ax³+bx+1的两个极值点．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer

（I）利用函数的导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．
（Ⅱ）将a，b的值代入导函数，令导函数大于0求出解集为递增区间；令导函数小于0，求出解集为递减区间．
【解析】
（Ⅰ）因为f′（x）=5x4+3ax2+b
由假设知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=24×5+22×3a+b=0
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x4+3ax2+b=5（x2-1）（x4-4）=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）
当x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（-2，-1）∪（1，2）时，f′（x）＜0
因此f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞）
f（x）的单调减区间是（-2，-1），（1，2）