Question

已知抛物线C₁：y=x²，椭圆C₂：x²+=1．
（1）设l₁，l₂是C₁的任意两条互相垂直的切线，并设l₁∩l₂=M，证明：点M的纵坐标为定值；
（2）在C₁上是否存在点P，使得C₁在点P处切线与C₂相交于两点A、B，且AB的中垂线恰为C₁的切线？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）求导，设切点分别为（x1，x12），（x2，x22），求出直线l1，l2的方程，根据l1⊥l2可得结果；
（2）设P（x，x2），写出C1在点P处切线方程，联立它与椭圆的方程，消去y，得到关于x一元二次方程，△＞0，利用韦达定理和（1）的结论即可求出点P的坐标．
【解析】
（1）y′=2x，
设切点分别为（x1，x12），（x2，x22）
则l1方程为y-x12=2x1（x-x1）
即y=2x1x-x12 ①
l2方程为y=2x2x-x22 ②
由l1⊥l2得2x12x2=-1
即
所以，
即点M的纵坐标为定值．
（2）设P（x，x2），
则C1在点P处切线方程为：y=2xx-x2
代入C2方程4x2+y2-4=0
得4x2+（2xx-x2）-4=0
即（4+4x2）x2-4x3x+x4-4=0
设A（x3，y3），B（x4，y4）
则
△=16x6-16（1+x2）（x4-4）=16（4+4x2-x4）＞0   ③
由（1）知
从而，
即
进而得
解得，且满足③
所以这样点P存在，其坐标为．