Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=3，点（S_n，S_n+1）在直线（n∈N*）上．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设，求证：．

Answer

（Ⅰ）由点（Sn，Sn+1）在直线（n∈N*）上，得，对此式两边同除以n+1，得到，可证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，能求得Sn，根据，求出数列{an}的通项公式，代入可求得数列{bn}的通项公式，然后利用错位相减法求得数列{bn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）把（II）求得的结果代入，利用分组求和法求得数列{cn}的前n项和，再证明不等式即可．
【解析】
（Ⅰ）∵点（Sn，Sn+1）在直线（n∈N*）上，
，
同除以n+1，则有：
∴数列{}是以3为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，Sn=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=3，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1，经检验，当n=1时也成立，
∴an=2n+1（n∈N*）．
∵，∴bn=（2n+1）•22n+1，
Tn=3•23+5•25++（2n-1）•22n-1+（2n+1）•22n+14Tn
=3•25++（2n-3）22n-1+（2n-1）22n+1+（2n+1）22n+3
解得：Tn=．
（Ⅲ）∵=
∴
．