Question

已知函数，
（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（3）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

Answer

（1）先求导数，再根据x=1是f（x）的极值点得到：“f′（1）=0”，从而求得a值；
（2）先根据切线方程为x+y-3=0利用导数的几何意义求出a值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．
（3）由题意得：函数f（x）在区间（-1，1）不单调，所以函数f′（x）在（-1，1）上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得：f′（-1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=x2-2ax+a2-1
∵x=1是f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，即a2-2a=0，解得a=0或2；（3分）
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0上．∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上，∴又f′（1）=-1，
∴1-2a+a2-1=-1∴a2-2a+1=0，
解得∴
由f′（x）=0可知x=0和x=2是极值点．
∵
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．（8分）
（3）因为函数f（x）在区间（-1，1）不单调，
所以函数f′（x）在（-1，1）上存在零点．
而f′（x）=0的两根为a-1，a+1，区间长为2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点．
所以f′（-1）f′（1）＜0，∵a2＞0，
∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，∴a∈（-2，0）∪（0，2）．（12分）