Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD＞BC．E，F分别为棱AB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：EF∥平面PAD；

Answer

（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC，又BC⊥AB，由线面垂直的判定证明BC⊥平面PAB，从而有BC⊥PE；
（Ⅱ）由FG∥平面PAD，EG∥平面PAD，平面EFG∥平面PAD，EF∥平面PAD．
证明：解（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA⊥BC
∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB
∵E为AB中点，∴PE⊂平面PAB．
∴BC⊥PE．

（Ⅱ）证明：取CD中点G，连接FG，EG，
∵F为PC中点，
∴FG∥PD
∵FG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD
∴FG∥平面PAD；
同理，EG∥平面PAD
∵FG∩EG=G，（没有扣1分）平面EFG∥平面PAD
∴EF∥平面PAD．