Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设数列的前n项之和为T_n，求T_n．

Answer

（1）先根据a1=2，an+1=an+cn，令n=2得到a2，令n=3得到a3．因为a1，a2，a3成等比数列，所以a22=a1•a3，代入即可求出c的值；（2）当n≥2时，a2-a1=c，a3-a2=2c，…，an-an-1=（n-1）c，等号左边相加等于等号右边相加，并根据等差数列的前n项和的公式得到an即可；
（3）设．然后列举出Tn的各项得①，都乘以得Tn②，利用①-②即可得到Tn的通项．
【解析】
（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c．
∵a1，a2，a3成等比数列，
∴（2+c）2=2（2+3c），
解得c=0或c=2．
∵c≠0，∴c=2．

（2）当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，an-an-1=（n-1）c，
∴an-a1=[1+2+…+（n-1）]c=．
又a1=2，c=2，故有an=2+n（n-1）=n2-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立．
∴an=n2-n+2（n=1，2）．

（3）令．Tn=b1+b2+b3+…+bn=0++2×+3×+…+（n-1）①
Tn=0++2×+…+（n-2）+（n-1）②
①-②得．