Question

（1）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，则此四面体的体积V=______．
（2）在平面几何里有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC²．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三侧面ABC，ACD，ADB两两垂直，则 ______．”

Answer

（1）球心O到四个面S1，S2，S3，S4的距离都是R，四面体的体积等于以O为顶点，分别以S1，S2，S3，S4为底面的四个三棱锥
体积的和．
（2）猜测：S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2，作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD，S△BCD2 =•BE2
=（AB2+AE2）=（AC2+AD2）（AB2+AE2），再化简即得结论．
【解析】
（1）设四面体内切球的球心为O，则球心O到四个面S1，S2，S3，S4的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以S1，S2，S3，S4为底面的四个三棱锥体积的和．
所以，V=R（S1+S2+S3+S4），
故答案为：V=R（S1+S2+S3+S4）．
（2）线的关系类比到面的关系，猜测：S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2．证明如下：
如图作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD．
S△BCD2 =•BE2 =（AB2+AE2）=（AC2+AD2）（AB2+AE2）=（AC2AB2 +AD2AB2 +AC2AE2+AD2AE2 ）
=（AC2AB2 +AD2AB2+CD2AE2 ）=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2，
故答案为：S△BCD2 =S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2．