Question

已知F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B与点A关于原点对称，AF₂-F₁F₂=0，若椭圆的离心率等于
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF₂的面积等于4，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意可知AF2⊥F1F2，根据椭圆离心率可设椭圆方程可以写成x2+2y2=a2，再将A（c，yA），代入方程得yA=a，求出A的坐标，从而得出直线AB的斜率进而得到直线AB的方程；
（Ⅱ）连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知S△AEF1=S△ABF1=S△AF1F2，据此求出a，b的值，从而得到椭圆方程；
（Ⅲ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8，再利用点到直线AB的距离公式，求出点M到直线AB的距离d，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（Ⅰ）由知AF2⊥F1F2
∵椭圆离心率等于，所以c=a，b2=a2，故椭圆方程可以写成x2+2y2=a2，
设A（c，yA），代入方程得yA=a，所以A（a，a），
故直线AB的斜率k=，因此直线AB的方程为y=（4分）
（Ⅱ）连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知S△AEF1=S△ABF1=S△AF1F2，
所以故椭圆方程为（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2=4
假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8，设点M到直线AB的距离为d，则应有，所以d=4
设M所在直线方程为x-2y±4=0与椭圆方程联立消去x得方程4y2±8y+32=0
即y2±2y+8=0，∵△=（±2）2-4×8＜0故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于8（14分）