Question

已知函数f（x）=2cosxsinx+2cos²x-．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；
（3）求函数f（x）的单调增区间．

Answer

（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理求得f（x）=2sin（2x+），进而利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（2）根据（1）中的函数的解析式，和正弦函数的性质可求得函数的最大和最小值，同时可求得函数取最大和最小值时x的值．
（3）根据正弦函数的单调性求得函数递增时2x+的范围，进而求得x的范围，则函数的单调性增区间可得．
【解析】
（1）原式=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）
=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+）
∴函数f（x）的最小正周期为π

（2）当2x+=2kπ+时，即：x=kπ+（k∈Z），f（x）有最大值2
当2x+=2kπ-时，即：x=kπ-（k∈Z），f（x）有最小值-2

（3）要使f（x）递增，必须使2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）
解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）
∴函数f（x）的递增区间为：[kπ-，kπ+]（k∈Z）