Question

过椭圆的右焦点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，椭圆上不同的两点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列，则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是     ．

Answer

使用焦半径公式求得x1+x2的值，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差法”：记AC中点M（4，y），将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差，求得AC的斜率表达式，表示出AC的中垂线方程，把x=0代入求得AC的中垂线在y轴上的截距，根据M在圆内求得y的范围，进而求得的范围即弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围．
【解析】
对|F2A|+|F2C|=使用焦半径公式得：5-x1+5-x2=⇒x1+x2=8．
此后，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差”：记AC中点M（4，y），将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差得：
⇒，
∴kAC=-，
于是有：AC的中垂线的方程为：
y-y=（x-4），
当x=0时：y=-，此即AC的中垂线在y轴上的截距，
∵M（4，y）在椭圆“内”，
∴，
得-＜y＜，
∴-＜-＜．
故答案为：（）