Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．则△AOB得重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为     ；

Answer

设出AB的方程，A，B的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，进而利用抛物线方程求得y1y2=的表达式，进而根据AO⊥BO推断出x1x2+y1y2=0，求得b，设△AOB的重心为G（x，y），则x和y的表达式可得，联立后消去k则x和y的关系式可得．
【解析】
显然直线AB的斜率存在，记为k，AB的方程记为：y=kx+b，（b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入y=x2得：x2-kx-b=0，则有：
△=k2+4b＞0①，x1+x2=k②，x1x2=-b③，又y1=x12，y2=x22
∴y1y2=b2；
∵AO⊥BO，∴x1x2+y1y2=0，
得：-b+b2=0且b≠0，
∴b=1，代入①验证，满足；
故y1+y2=k（x1+x2）+2=k2+2；
设△AOB的重心为G（x，y），
则x==④，y==⑤，
由④⑤两式消去参数k得：G的轨迹方程为．
故答案为：．