Question

设f（x）=|x|x+bx+c，给出下列命题中，所有正确的命题序号是     ．
①b=0，c＞0时，f（x）=0仅有一个根；
②c=0时，y=f（x）为奇函数；
③y=f（x）的图象关于点（0，1）对称；
④f（x）=0至少有两个实数根．

Answer

①由b=0，c＞0，将函数转化为f（x）=|x|x+c=0，易知只有一负根；
②由c=0，将函数转化为f（x）=|x|x+bx，再由f（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），得到函数是奇函数；
③当c=1时，函数为f（x）=|x|x+bx+1，其图象是由f（x）=|x|x+bx的图象向上平移一个单位得到的，所以y=f（x）的图象才关于点（0，1）对称，c为其他值时，不关于（0，1）对称．
④当x＞0时，若f（x）=0无根时，由当x＜0时开口向下，图象向下无限延展，f（x）与x轴只有一个交点．
【解析】
①b=0，c＞0时，f（x）=|x|x+c=0只有一负根，正确；
②c=0时，f（x）=|x|x+bx，而f（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），是奇函数；正确
③当c=1时，y=f（x）的图象关于点（0，1）对称，所以不正确
④当x＞0时，△=b2-4c＜0f（x）=0无根，则在x＜0时f（x）=0只有一根．所以不正确
故答案为：①②