Question

已知函数f（x）=e^-x（cosx+sinx），将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}．求证：数列{f（x_n）}为等比数列．

Answer

先求导数，然后解出f′（x）=0的所有正数根，最后根据等比数列的定义进行证明即可．
证明：f′（x）=-e-x（cosx+sinx）+e-x（-sinx+cosx）=-2e-xsinx，
由f′（x）=0，即-2e-xsinx=0，
解得x=nπ，n∈Z．从而xn=nπ（n=1，2，3，…），
f（xn）=（-1）ne-πn．
所以=-e-π．
所以数列{f（xn）}是公比q=-e-π的等比数列．