Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小为60°，求λ的值．

Answer

（1）以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，计算向量的数量积，只要说明数量积与λ无关即可；
（2）分别求出平面ADE与平面ACE的一个法向量，利用二面角C-AE-D的大小为60°建立两法向量的关系式，求出λ的值即可．
【解析】
以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（a，0，0），
B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），
（1）证明：∵=（-a，a，0），
=（-a，-a，λa），=（a，0，-λa），=（0，a，-λa）．
∴•=（-a，a，0）•（-a，-a，λa）
=a2-a2+0•λa=0，
即对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE．
（2）=（0，a，0）为平面ADE的一个法向量．
设平面ACE的一个法向量为n=（x，y，z），
则n⊥E，n⊥E，
∴即
取z=1，得n=（λ，λ，1）．
∴cos60°═⇔=2|λ|．
由λ∈（0，1]，解得λ=．