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已知函数f(x)=(常数a>0),且f(1)+f(3)=-2. (1)求a的值;...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网(常数a>0),且f(1)+f(3)=-2.
(1)求a的值;
(2)试研究函数f(x)的单调性,并比较f(t)与manfen5.com 满分网的大小;
(3)设g(x)=manfen5.com 满分网,是否存在实数m使得y=g(x)有零点?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)有条件f(1)+f(3)=-2易得a的值. (2)可利用定义讨论函数的单调性. (3)实际上是根的存在行问题,可以通过等价转化求解. 【解析】 (1)由f(1)+f(3)=+=-2. 有a(a-2)=0. 又a>0,所以a=2. (2)由(1)知函数f(x)=, 其定义域为(-∞,2)∪(2,+∞), 设x1、x2∈(-∞,2)且x1<x2, f(x1)-f(x2)=-=<0, 即f(x1)<f(x2),故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,同理可得,f(x)在区间(2,+∞)上是增函数. 令h(x)==+2, 则函数h(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数, 当t∈时,f(t)>f=, h(t)<h=-1,2h(t)<2-1=, 所以f(t)>. 当t∈时,f(t)<f=7,h(t)>h=, 2h(t)>>23=8,所以f(t)<. 综上,当t∈时,f(t)>; 当t∈时,f(t)<. (3)g(x)=. 由题意可知,方程在{x|x≥-2且x≠2}中有实数解, 令=t,则t≥0且t≠2, 问题转化为关于t的方程mt2-t+2=0①, 有非负且不等于2的实数根. 若t=0,则①为2=0,显然不成立, 故t≠0,方程①可变形为m=-22+, 问题进一步转化为求关于t的函数(t≥0且t≠2)的值域, 因为t≥0且t≠2,所以>0且≠, 所以m=-22+∈(-∞,0)∪(0,], 所以实数m的取值范围是(-∞,0)∪(0,].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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