Question

如图，在三棱锥A-BCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若AC=BD，求证：四边形EFGH是菱形；
（3）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．

Answer

（1）在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，得到EF∥AC，且EF=AC，GH∥AC，且GH=AC，得到四边形EFGH是平行四边形．
（2）由（1）知四边形EFGH是平行四边形，再由AC=BD，得出EH=EF，从而证得四边形EFGH是菱形．
（3）由（2）且对角线相等，推知四边形EFGH是正方形．
【解析】
（1）证明：在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，
所以EF∥AC，且EF=AC，
同理有GH∥AC，且GH=AC，
∴EF∥GH且EF=GH，
故四边形EFGH是平行四边形．
（2）证明：仿（1）中分析，EH∥BD且EH=BD，
若AC=BD，则有EH=EF，
又因为四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．