Question

某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
（1）设a_k（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k（不必证明）；
（2）证明：a_k＞a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n和b有关，记为P_n（b）．对常数b，当n变化时，求P_n（b）（可用公式（1-）ⁿ=）．

Answer

（1）根据题意可知a1进而利用余额除以n发给第2位职工，求得a2=（1-）•b，同理可求得a3．以此类推发现数列成等比数列，公比为1-，进求得ak．
（2）根据（1）中的ak进而代入ak-ak+1结果大于0，由题意可知业绩大的在数列的前面，且拿的奖金多，进而可判断出此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．
（3）根据题意可分别表示出f1（b），f2（b），推断出fk（b），进而利用极限的基本运算求得Pn（b）．
（1）【解析】
a1=，a2=（1-）•b，a3=（1-）2•b，…，ak=（1-）k-1•b．
（2）证明：ak-ak+1=（1-）k-1•b＞0，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．
（3）【解析】
设fk（b）表示发给第k位职工后所剩余额，
则f1（b）=（1-）•b，f2（b）=（1-）2•b，…，fk（b）=（1-）k•b，
得Pn（b）=fn（b）=（1-）n•b，
故Pn（b）=．