Question

已知函数，
（I）当a=1时，若函数g（x）在区间（-1，1）上是增函数，求实数c的取值范围；
（II）当时，求证：对任意的x∈[0，1]，g^/（x）≤1的充要条件是；

Answer

（1）根据g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，转化成g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，将参数c分离出来，研究函数再开区间上值域，即可求出c的范围；
（2）先求出f（x），然后利用配方法求出函数的最大值，再从充分性与必要性两方面进行证明即可．
【解析】
（1）当a=1时，，
g'（x）=-x2+x+c（1分）∵g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，
∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立（2分）
∴-x2+x+c≥0在（-1，1）上恒成立（3分）∴c≥2（4分）
（2）设g'（x）=f（x），则
f（x）=-a2（x-）2+c+
∵a
∴即
当x=时，[f（x）]max=f（）=c+
充分性：∵
∴x∈[0，1]时，f（x）≤1
∴f（x）≤1（x∈[0，1]）
必要性：x∈[0，1]时f（x）≤1而
∴f（）=c+≤1
∴c