Question

（1）求（1+2x）⁷展开式中系数最大项；
（2）求（1-2x）⁷展开式中系数最大项．

Answer

（1）本题要求二项式中系数最大的项，设出第r+1项系数最大，则这一项不小于它的前一项且不小于它的后一项，列出不等式组，解不等式组，根据r是正整数得到结果．
（2）本题要求二项式中系数最大的项，展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，只需比较T5和T7两项系数大小即可．
【解析】
（1）设第r+1项系数最大，则有，
即，
即，
∴且0≤r≤7，r∈Z，
∴r=5．
∴系数最大项为T6=C75•25•x5=672x5；
（2）展开式共有8项，系数最大项必为正项，
即在第一、三、五、七这四项中取得，
故系数最大项必在中间或偏右，
∴只需比较T5和T7两项系数大小即可．
∵T5=C74（-2）4x4=560x4，T7=C76（-2）6x6=448x6，
∴系数最大的项是第五项为T5=C74（-2）4x4=560x4．