Question

抛物线y²=4px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．
（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x，0），求证：x＞3p；
（2）若直线l的斜率依次为p，p²，p³，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N₁，N₂，N₃，…，当0＜p＜1时，求++…+的值．

Answer

（1）设直线l方程为y=k（x+p），与抛物线方程联立消去y，根据判别大于0可求得k2的范围，令A（x1，y1）、B（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和y1+y2进而得到AB中点坐标，AB垂直平分线的方程可得，令y=0，得x==p+．根据k的范围进而证明原式．
（2）根据l的斜率依次为p，p2，p3时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，（0＜p＜1）可得点Nn的坐标，根据|NnNn+1|的表达式，进而可得答案．
（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px．
得k2x2+（2k2p-4p）x+k2p2=0．
△=4（k2p-2p）2-4k2•k2p2＞0，
得0＜k2＜1．
令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，
AB中点坐标为（，）．
AB垂直平分线为y-=-（x-）．
令y=0，得x==p+．
由上可知0＜k2＜1，∴x＞p+2p=3p．
∴x＞3p．
（2）【解析】
∵l的斜率依次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，（0＜p＜1）．
∴点Nn的坐标为（p+，0）．
|NnNn+1|=|（p+）-（p+）|=，=，
所求的值为[p3+p4++p21]=．