Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）上一定点P（x，y）（y＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer

（I）把代入抛物线方程求得x，进而利用抛物线的方程推断出准线方程，最后根据抛物线的定义求得答案．
（II）设出直线PA，PB的斜率，把A，P点代入抛物线的方程相减后，表示出两直线的斜率，利用其倾斜角互补推断出
kPA=-kPB，求得三点纵坐标的关系式，同样把把A，B点代入抛物线的方程相减后，表示出AB的斜率，将y1+y2=-2y代入求得结果为非零常数．
【解析】
（I）当时，
又抛物线y2=2px的准线方程为
由抛物线定义得，所求距离为

（II）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB
由y12=2px1，y2=2px
相减得（y1-y）（y1+y）=2p（x1-x）
故
同理可得
由PA，PB倾斜角互补知kPA=-kPB
即
所以y1+y2=-2y
故
设直线AB的斜率为kAB
由y22=2px2，y12=2px1
相减得（y2-y1）（y2+y1）=2p（x2-x1）
所以
将y1+y2=-2y（y＞0）代入得，所以kAB是非零常数