Question

在数列{a_n}中，，a₁=1，a₂=2，三个相邻项a_n，a_n+1，a_n+2，当n为奇数时成等比数列；当n为偶数时成等差数列．求数列{a_n}的通项公式．

Answer

先根据题意可枚举出数列的前几项，进而总结过规律将n为奇数（n=2k-1）的数列取出 得到 1 4 9 16 25，可作出假设a2k-1=k2，k≥1的整数，将n为偶数（n=2k）的数列取出 得到 2 6 12 20 30，可作出假设a2k=a2k-2+2k，k≥2．用叠加法可以得出 a2k，因为当n=2k-1为奇数时an+12=anan+2代入n=2k-1得到 a2k2=a2k-1a2k+1，当n=2k为偶数时，2an+1=an+an+2
代入n=2k 得到 2a2k+1=a2k+a2k+2，然后把假设的式子代入符合，推断假设成立，进而分别可求得当n为奇数和n为偶数时数列的通项公式．
【解析】
按照题意可得数列为
1 2 4 6 9 12 16 20 25 30
规律如下：
将n为奇数（n=2k-1）的数列取出 得到 1 4 9 16 25
可作出假设a2k-1=k2，k≥1的整数…①
将n为偶数（n=2k）的数列取出 得到 2 6 12 20 30
可作出假设a2k=a2k-2+2k，k≥2，a2=2
用叠加法可以得出 a2k=（1+k）k k≥的整数（K=1时候a2=2符合） …②
因为当n=2k-1为奇数时，an+12=anan+2
代入n=2k-1得到 a2k2=a2k-1a2k+1…③（k≥1整数）
因为当n=2k为偶数时，2an+1=an+an+2
代入n=2k 得到 2a2k+1=a2k+a2k+2…④（k≥1整数）
根据假设①②两式 得知a2k2=（1+k）2k2
a2k-1a2k+1=k2（k+1）2，（k≥1整数）
将两等式代入③成立
根据假设①②两式 得到2a2k+1=2（k+1）2
a2k+a2k+2=（1+k）k+（1+k+1）（k+1）=2（k+1）2，（k≥1整数）
将两等式代入④成立
综上所述，①②两个假设都成立
即an的通式为
n为奇数（n=2k-1）时，a2k-1=k2，k取≥1的整数
将n=2k-1代入即得 an=（n+1）2，n为奇数
n为偶数（n=2k）时，a2k=（1+k）k，k取≥1的整数，
将n=2k代入 即得 an=（1+）*=