Question

数列{a_n}和{b_n}适合下列关系式a_n=5a_n-1-6b_n-1，b_n=3a_n-1-4b_n-1，且a₁=a，b₁=b，求通项a_n和b_n．

Answer

把题设中的等式相减，求得an-bn=2an-1-bn-1推断出数列{an-bn}为等比数列，公比为2，进而求得数列{an-bn}的通项公式，代入到an=5an-1-6bn-1中，整理求得an=bn+（a-b）2n-1，进而根据an=5an-1-6bn-1，求得bn=-bn-1+3（a-b）2n-2，设cn=bn-（a-b）2n-1，推断出cn=-c（n-1），判断出数列{cn}为等比数列，根据首项和公比求得其通项公式，则bn可得，进而利用an=bn+（a-b）2n-1求得an．
【解析】
∵an=5an-1-6bn-1，bn=3an-1-4bn-1，
两式相减得，an-bn=2an-1-bn-1
∴数列{an-bn}为等比数列，公比为2
∴an-bn=（a1-b1）2n-1
=（a-b）2n-1
∴an=bn+（a-b）2n-1
an-1=bn-1+（a-b）2n-2
∴bn+（a-b）2n-1=5[bn-1+（a-b）2n-2）]-6bn-1
bn=-bn-1+3（a-b）2n-2
设cn=bn-（a-b）2n-1，c1=b1-（a-b）=2b-a
cn=-c（n-1）
∴cn=c1（-1）n-1=（2b-a）（-1）n-1
即bn-（a-b）2n-1=cn=（2b-a）（-1）n-1
bn=（a-b）2n-1+（2b-a）（-1）n-1
∴an=bn+（a-b）2n-1=（a-b）2n+（2b-a）（-1）n-1
∴an=（a-b）2n+（2b-a）（-1）n-1
bn=（a-b）2n-1+（2b-a）（-1）n-1