Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式．3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（其中t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求证：数列{a_n}是等比数列．．（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，b_n=（n=2，3，4…）求数列{b_n}的通项公式．（3）求和S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄ -…+（-1）^n-1b_nb_n+1．

Answer

（1）由已知3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，可得3tsn-1-（2t+3）sn-2=3t，两式相减可得数列an与an-1的递推关系，从而可证．
（2）由（1）可得f（t），代入整理可得，利用等差数列的通项公式可求．
（3）考虑到，从而可以把所求式两项结合，而结合的组数则根据n的值而定，从而需对n分为奇数和偶数两种情讨论．
【解析】
（1）∵3tsn-（2t+3）sn-1=3t∴3tsn-1-（2t+3）sn-2=3t（n＞2）
两式相减可得3t（sn-sn-1）-（2t+3）（sn-1-sn-2）=0
整理可得3tan=（2t+3）an-1（n≥3）
∴
∵a1=1∴即
数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列
（2）由（1）可得f（t）=
在数列{bn}中，=
∴
数列{bn}以1为首项，以为公差的等差数列
∴
（3）当n为偶数时Sn=b1b2-b2b3+b3b4-…+（-1）n-1bnbn+1
=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+bn（bn-1-bn+1）
=
=
 当n为奇数时Sn=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+bn（bn-1-bn+1）+bnbn+1
=
=
=