Question

学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A，若用A_n，B_n表示在第n个星期一分别选A、B的人数．
（1）试用A_n，B_n，表示A_n+1．
（2）证明A_n+1=0.5A_n+300．
（3）若A₁=a，则A_n=（0.5）^n-1（a-600）+600  （n≥1）．

Answer

（1）根据“凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A”，可得  An+1=0.8An+0.3Bn；
（2） 由学校餐厅每天供应1000名学生用餐，得到Bn=1000-An代入 An+1=0.8An+0.3Bn，可证；
（3）根据（2）的结果，根据An+1=0.5An+300，两边同时加同一个常数，构造一个等比数列，求通项公式，即可求得结果．
【解析】
（1）∵凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A，若用An，Bn表示在第n个星期一分别选A、B的人数，
得  An+1=0.8An+0.3Bn   ①
（2）∵学校餐厅每天供应1000名学生用餐，
∴Bn+An=1000，即Bn=1000-An并代入①，
得An+1=0.5An+300．   ②
（3） 设An+1+λ=0.5（An+λ），即An+1=0.5An-0.5λ，得-0.5λ=300，∴λ=-600．
∴{An-600}是以A1-600=a-600为首项，公比为0.5的等比数列．
∴An-600=（a-600）×0.5n-1．
∴An=600+（a-600）×0.5n-1