Question

在直角坐标系xOy中，动点P到两定点，的距离之和等于4，设动点P的轨迹为C，过点的直线与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）设d为A、B两点间的距离，d是否存在最大值、最小值；若存在，求出d的最大值、最小值．

Answer

（1）由题意，由于动点P到两定点，的距离之和等于4，有椭圆的定义知此动点的轨迹应为椭圆，有椭圆的定义即可得动点的轨迹方程；
（2）有题意，求过焦点的直线与椭圆产生的交点构成的过焦点的弦长，有焦半径公式即可求得．
【解析】
（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以（0，-），（0，）为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为．
（2）①设过点（0，）的直线方程为y=kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），
其坐标满足
消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-1=0．
∴x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2=-．
∴d=|AF|+|BF|=e（）+e（）
=2a-e（y1+y2）=4=4+
=4-．
∵k2≥0，∴k=0时，d取得最小值1．
②当k不存在时，过点（0，）的直线方程为x=0，
此时交点A、B分别为椭圆C的长轴的两端点，
∴d取最大值4．
综上，d的最大值、最小值存在，分别为4、1．