Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁和BCC₁B₁是两个全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D为AC的中点．
（1）求证：平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：B₁C∥平面A₁DB．

Answer

（1）欲证平面A1ABB1⊥平面BCC1B1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得B1C1⊥平面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；
（2）由（I）知BC，BB1，BA两两垂直，如图以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，设正方形边长为1，求出平面A1DB的一个法向量，只需计算该法向量与的数量积是否为零即可．
证明：（1）∵AC1⊥平面A1DB，A1B⊂平面A1DB，
∴AC1⊥A1B，又在正方形A1ABB1中，A1B⊥AB1，AC1∩AB1=A，
∴A1B⊥面AC1B1，又B1C1⊂面AC1B1，
∴A1B⊥B1C1，
又∵在正方形BCC1B1中有，B1C1⊥BB1，又BB1∩A1B=B，
∴B1C1⊥平面A1ABB1，B1C1⊂平面B1BCC1，
所以平面A1ABB1⊥平面BCC1B1．
（2）由（I）知BC，BB1，BA两两垂直，
如图以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，
设正方形边长为1，则C（1，0，0），C1（1，1，0），B1（0，1，0），A1（0，1，1），A（0，0，1）
D（），
由AC1⊥平面A1DB，得平面A1DB的法向量为，
∵，
∴，
又B1C⊄平面A1DB，
∴B1C∥平面A1DB．